Poliedro quasirregular

Figuras quasirregulares Dominios del triángulo rectángulo (p q 2), = r{p,q} r{4,3} r{5,3} r{6,3} r{7,3}... r{∞,3} (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.∞)2 Dominios del triángulo isósceles (p p 3), = = h{6,p} h{6,4} h{6,5} h{6,6} h{6,7}... h{6,∞} = = = = = (4.3)4 (5.3)5 (6.3)6 (7.3)7 (∞.3)∞ Dominios del triángulo isósceles (p p 4), = = h{8,p} h{8,3} h{8,5} h{8,6} h{8,7}... h{8,∞} = = = = = (4.3)3 (4.5)5 (4.6)6 (4.7)7 (4.∞)∞ Dominio del triángulo escaleno (5 4 3), (3.5)4 (4.5)3 (3.4)5 Un poliedro o un teselado quasirregulares tiene exactamente dos tipos de caras regulares, que se alternan alrededor de cada vértice. Sus figuras de vértice son polígonos isogonales.

Figuras regulares y quasirregulares Dominios del triángulo rectángulo (p p 2), = = r{p,p}= {p,4}1⁄2 {3,4}1⁄2 r{3,3} {4,4}1⁄2 r{4,4} {5,4}1⁄2 r{5,5} {6,4}1⁄2 r{6,6}... {∞,4}1⁄2 r{∞,∞} = = = = = (3.3)2 (4.4)2 (5.5)2 (6.6)2 (∞.∞)2 Dominios del triángulo isósceles (p p 3), = = {p,6}1⁄2 {3,6}1⁄2 {4,6}1⁄2 {5,6}1⁄2 {6,6}1⁄2... {∞,6}1⁄2 = = = = = (3.3)3 (4.4)3 (5.5)3 (6.6)3 (∞.∞)3 Dominios del triángulo isósceles (p p 4), = = {p,8}1⁄2 {3,8}1⁄2 {4,8}1⁄2 {5,8}1⁄2 {6,8}1⁄2... {∞,8}1⁄2 = = = = = (3.3)4 (4.4)4 (5.5)4 (6.6)4 (∞.∞)4 Un poliedro o un teselado regulares puede considerarse cuasirregulares si tiene un número par de caras alrededor de cada vértice (y por lo tanto pueden tener caras coloreadas alternadamente).

En geometría, un poliedro quasirregular, poliedro cuasirregular o poliedro casi regular es un poliedro uniforme que tiene exactamente dos tipos de caras regulares, que se alternan alrededor de cada vértice. Son figuras isogonales e isotoxales, y por lo tanto están un paso más cerca de ser un poliedro regular que un poliedro semirregular (que se caracteriza meramente por la transitividad entre sus vértices).

Sus figuras duales son isoedrales y presentan transitividad entre aristas; tienen exactamente dos tipos de figuras de vértice regulares, que se alternan alrededor de cada cara. Estos poliedros duales a veces también se consideran casirregulares.

Solo hay dos poliedros cuasirregulares convexos: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres, dados por Johannes Kepler, provienen de reconocer que sus caras son todas las caras (dispuestas convenientemente) de la pareja de poliedros duales formada por el cubo y el octaedro en el primer caso; y de la pareja dual formada por el icosaedro y el dodecaedro en el segundo caso.

A estas formas que representan un par de una figura regular y su dual se les puede asignar un símbolo de Schläfli vertical ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ o {rp,q}, para representar que sus caras son todas las caras (colocadas de manera diferente) tanto del {p,q} regular como del dual {q,p} regular. Un poliedro cuasirregular con este símbolo tendrá una configuración de vértices p.q.p.q (o (p.q)²).

Más generalmente, una figura cuasirregular puede tener un configuración de vértices (p.q)^r, que representa 'r' (2 o más) secuencias de las caras alrededor del vértice.

Los teselados del plano también puede ser cuasirregulares, concretamente el teselado trihexagonal, con configuración de vértices (3.6)². Igualmente existen otros teselados cuasirregulares en el plano hiperbólico, como el teselado triheptagonal, (3.7)². O más generalmente: (p.q)², con 1/p + 1/q < 1/2.

Los poliedros regulares y los teselados con un número par de caras en cada vértice así mismo pueden considerarse cuasirregulares diferenciando entre caras del mismo orden, representándolas de manera diferente, como coloreándolas alternativamente (sin definir ninguna orientación superficial). Una figura regular con símbolo de Schläfli {p,q} puede ser considerada cuasirregular, con configuración de vértices (p.p)^q/2, si q es par.

Ejemplos:

• El octaedro regular, con el símbolo de Schläfli {3,4} y 4 siendo par, puede considerarse casi regular como un tetratetraedro (2 conjuntos de 4 triángulos del tetraedro), con configuración de vértices (3.3)^4/2 = (3_a. 3_b)², alternando dos colores de caras triangulares.

• El teselado cuadrado, con configuración de vértices 4⁴ y 4 siendo par, puede considerarse casi regular, con configuración de vértices (4.4)^4/2 = (4_a.4_b)², coloreado como un tablero de ajedrez.

• El teselado triangular, con configuración de vértice 3⁶ y 6 siendo par, puede considerarse cuasirregular, con configuración de vértices (3.3)^6/2 = (3_a.3_b)³, alternando dos colores de caras triangulares.